title: 埃尔米特矩阵
date: 2022-04-07 12:00
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  category: 模拟笔记
  math: true

# 埃尔米特矩阵

埃尔米特矩阵（英語：Hermitian matrix，又译作厄米特矩阵，厄米矩阵），也稱自伴隨矩陣，是共轭對稱的方陣。埃尔米特矩阵中每一个第 i 行第 j 列的元素都与第 j 行第 i 列的元素的复共轭。

$$\text{对于:}{\quad}{\displaystyle A=\{a_{i,j}\}\in C^{n\times n}}{\quad} \text{有：}{\quad}{\displaystyle a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}}{\quad} \text{其中}{\quad}{\displaystyle {\overline {(\cdot )}}}{\quad} \text{为共轭算子。 记做：} {\quad}{\displaystyle A=A^{H}\quad }$$

例如：

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}}$$

就是一个埃尔米特矩阵。

• 若 A 和 B 是埃尔米特矩阵，那么它们的和 A+B 也是埃尔米特矩阵；而只有在 A 和 B 满足交换性（即 AB = BA）时，它们的积才是埃尔米特矩阵。

• 可逆的埃尔米特矩阵 A 的逆矩阵 A1 仍然是埃尔米特矩阵。

• 如果 A 是埃尔米特矩阵，对于正整数 n，A 是埃尔米特矩阵。

• 方阵 C 与其共轭转置的和是埃尔米特矩阵，

  $${\displaystyle C+(C^{*})}$$

• 方阵 C 与其共轭转置的差是斜埃尔米特矩阵。

  $${\displaystyle C-C^{*}}$$

• 任意方阵 C 都可以用一个埃尔米特矩阵 A 与一个斜埃尔米特矩阵 B 的和表示：

$${\displaystyle C=A+B {\quad}\text{with}{\quad} A={\frac {1}{2}}(C+C^{*}) {\quad}\text{and}{\quad} B={\frac {1}{2}}(C-C^{*})}$$

• 埃尔米特矩阵是正规矩阵，因此埃尔米特矩阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组 C 的正交基。
• n - 阶埃尔米特矩阵的元素构成维数为 n 的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。
• 如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定矩阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定矩阵。