# 酉矩阵

在線性代數中，么正矩陣（又译作幺正矩阵，英語：unitary matrix）是一個 n×n 複數方塊矩陣 U，其滿足以下性質：

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}} ，$

其中 U* 是 U 的共軛轉置，In 是 n×n 單位矩陣。

換句話說，么正矩陣的逆矩陣，就是其共軛轉置：

${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}。$

么正矩陣是實數上的正交矩陣，在複數的推廣

從定義可知，么正矩陣滿足以下性質：

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}} 。$

由此可見，么正矩陣與其共軛轉置 U* 矩陣乘法可交換，是正規矩陣。

么正矩陣亦必定可逆，且逆矩陣等於其共軛轉置：

${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}。$

么正矩陣 U 的所有特徵值 λn ，都是絕對值等於 1 的複數：

${\displaystyle \left|\lambda _{n}\right|=1} 。$

因此，么正矩陣 U 行列式的絕對值也是 1：

${\displaystyle \left|\det(U)\right|=1} 。$

么正矩陣 U 不會改變兩個複向量 x 和 y 的點積：

${\displaystyle (U\mathbf {x} )\cdot (U\mathbf {y} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }。$

更一般地說，所有希爾伯特內積也不會改變：

${\displaystyle \langle U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }。$

若 U 及 V 都是么正矩陣，则 UV 也是么正矩陣：

${\displaystyle (UV)^{*}(UV)=(UV)(UV)^{*}=I_{n}}。$

若 U 为 n×n 矩陣，則下列條件等價：