# 偏导数

偏导数（英语：partial derivative）的定义是：一个多变量的函数（或称多元函数），对其中一个变量（导数）微分，而保持其他变量恒定，函数𝑓关于变量$𝑥$的偏导数写为$𝑓𝑥′$或$∂𝑓∂𝑥$。偏导数符号$∂$是全导数符号$𝑑$的变体。

对于导数是一元上是切线也就是变化率，但在多元上一个曲面有无穷多条切线，偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。

# 定义

对于函数

$$f(x,y)=f_x(y)=x^2+xy+y^2。$$

对 y 求导意思是说选择了一个 x 的值，例如 a，那么 f(x,y) 便定义了一个函数 fa

$$f_a(y)=a^2+ay+y^2\\f_a^{\prime}(y)=a+2y\\\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x+2y$$

多变量函数的一个重要的例子，是欧几里德空间 Rn（例如 R2 或 R3）上的标量值函数 f(x1,...xn)。在这种情况下，f 关于每一个变量 xj 具有偏导数∂f/∂xj。在点 a，这些偏导数定义了一个向量：

$$\nabla f(a)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)$$

这个向量称为 f 在点 a 的梯度。如果 f 在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数∇f，它把点 a 映射到向量∇f(a)。这样，梯度便决定了一个向量场。一个常见的符号滥用是在欧几里得空间 R3 中用单位向量 $\mathbf{\hat{i}},\mathbf{\hat{j}},\mathbf{\hat{k}}$ 来定义 Nabla 算子 (∇) 如下:

$$\nabla=\left[\frac\partial{\partial x}\right]\mathbf{\hat{i}}+\left[\frac\partial{\partial y}\right]\mathbf{\hat{j}}+\left[\frac\partial{\partial z}\right]\mathbf{\hat{k}}$$

# 例子

考虑一个圆锥的体积 V；它与高度 h 和半径 r 有以下的关系：

$$V(r,h)=\frac{\pi r^2h}3$$

V 关于 r 的偏导数为：$\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{2\pi rh}3$，它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。

V 关于 h 的偏导数为：$\frac{\partial V}{\partial h}=\frac{\pi r^2}3$，它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。
现在考虑 V 关于 r 和 h 的全导数。它们分别是：

$$\frac{dV}{dr} = \frac{\partial V}{\partial r} + \frac{\partial V}{\partial h} \frac{\partial h}{\partial r}\\\frac{\operatorname{d}V}{\operatorname{d}r}=\overbrace{\frac{2\pi rh}3}^{\frac{\partial V}{\partial r}}+\overbrace{\frac{\pi r^2}3}^{\frac{\partial V}{\partial h}}\frac{\partial h}{\partial r}$$

以及

$$\frac{dV}{dh} = \frac{\partial V}{\partial h} + \frac{\partial V}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial h}\\\frac{\operatorname{d}V}{\operatorname{d}h}=\overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^{\frac{\partial V}{\partial h}}+\overbrace{\frac{2\pi rh}{3}}^{\frac{\partial V}{\partial r}}\frac{\partial r}{\partial h}$$

现在假设，由于某些原因，高度和半径的比 k 需要是固定的：$k=\frac hr=\frac{\partial h}{\partial r}$ 这便给出了关于 r 的全导数：

$$\frac{\operatorname{d}V}{\operatorname{d}r}=\frac{2\pi rh}3+k\frac{\pi r^2}3\\\frac{\operatorname{d}V}{\operatorname{d}r}=k\pi r^2$$

关于 h 的全导数是：

$$\frac{\operatorname{d}V}{\operatorname{d}h}=\pi r^2$$

与关于 r 和 h 二者相关的全导数是由雅可比矩阵给出的，它的形式为梯度向量

$$\nabla V=(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h})=(\frac23\pi rh,\frac13\pi r^2)$$

# 记法

f 的一阶偏导数为：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x=\partial_xf$$

二阶偏导数为：

$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=f_{xx}=\partial_{xx}f$$

二阶混合偏导数为：

$$\frac{\partial^2f}{\partial y}\frac{\partial x}{\partial x}=\frac\partial{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xy}=\partial_{yx}f$$

高阶偏导数为：

$$\frac{\partial^{i+j+k}f}{\partial x^i\mathrm{~}\partial y^j\mathrm{~}\partial z^k}=f^{(i,j,k)}$$