# 积分

积分就是反向导数，求积分就是求函数的面积

记作

把要求积分的函数（叫被积函数）放在积分符号后面，

最后放 dx 来代表积分的方向是 x（片沿 x 的宽度趋近零）。

我们这样写答案：

$$\int2xdx=2x^2+C$$

# 法则

常用函数	函数	积分
常数	∫a dx	ax + C
变量	∫x dx	x2/2 + C
平方	∫x2 dx	$\frac{x^3}{3}+C$
倒数	∫(1/x) dx	ln	x	+ C
指数	∫ex dx	ex + C
	∫ax dx	ax/ln(a) + C
	∫ln(x) dx	x ln(x) − x + C
三角法 （x 的单位是 https://www.shuxuele.com/geometry/radians.html）	∫cos(x) dx	sin(x) + C
	∫sin(x) dx	-cos(x) + C
	∫sec2(x) dx	tan(x) + C
法则	函数	积分
乘以常数	∫cf(x) dx	c∫f(x) dx
幂次数法则 (n≠-1)	∫xn dx	xn+1/(n+1) + C
和法则	∫(f + g) dx	∫f dx +
∫g dx
差法则	∫(f - g) dx	∫f dx -
∫g dx

# 分部积分法

分部积分法是一个特别的积分方法，最适用于积分两个函数的积，但在其他的情况下也会有用。

$$\int uvdx=u\int vdx-\int u'(\int vdx)dx$$

• u 是函数 u (x)
• v 是函数 v (x)

其中 U 和 V 这两个代表函数可以对调

# 例子：$∫\frac{ln(x)}{x^2}dx$ 是什么？

先选 u 和 v：

$$u = ln(x)\\v = \frac{1}{x}\\ln(x)' = \frac{1}{x}\\∫\frac{1}{x^2} dx = ∫x-2 dx = −x-1 = \frac{-1}{x}$$

其中$\frac{1}{x}(\frac{-1}{x})$ 先做乘法再积分

$$\frac{−ln(x)}{x} − ∫\frac{−1}{x^2} dx = \frac{−ln(x)}{x} − \frac{1}{x} + C$$

# 例子二：$∫e^x sin(x) dx$

$$u = sin(x)\\v = e^x\\u' = cos(x)\\\int e^xdx = e^x\\∫e^x sin(x) dx = sin(x) e^x -∫cos(x) e^x dx$$

在$\int cos(x) e^x dx$ 这里函数里面再做一次分部积分

$$u' = -sin(x)\\\int e^xdx = e^x\\\int\mathrm{e}^x\sin(x) \mathrm{d}x=\sin(x) \mathrm{e}^x-(\cos(x) \mathrm{e}^x-\int-\sin(x) \mathrm{e}^x \mathrm{d}x)\\∫e^x sin(x) dx = e^x \sin(x) - e^x \cos(x) −∫ e^x \sin(x)dx\\2∫e^x \sin(x) dx = e^x \sin(x) − e^x \cos(x)\\∫e^x sin(x) dx = e^x \frac{(sin(x) - cos(x))}{2} + C$$

# 换元积分法

适用于可以写成一个特定格式的函数，后一个是前一个导数，就可以变成

$$\int f(g(x))g^{\prime}(x)dx\\\int f(u)du$$

# 例子：$\int \frac{x}{x^2+1} dx$

解：

$$\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm{~dx}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+1}2x\mathrm{~dx}\\u = x^2 + 1\\u' = 2x\\\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du\\\frac{1}{2}∫\frac{1}{u}du = \frac{1}{2} ln(u) + C=\frac{1}{2}ln(x^2-1)+C$$

# 积分近似值

# 梯形法

对于一些比较难求的积分，我们可以帮他拆分成一片片来计算，其用公式是

$$\frac{\Delta x}{2}\times( f(x_{0}) + 2f(x_{1}) + 2f(x_{2}) + ... 2f(x_{n-1}) + f(x_{n}) )$$

$\Delta x$ 就是每个相间的大小

# 辛普森公式

最终的公式和梯形法差不多（不同的是除以 3 以及用 4,2,4,2,4 的因子规律）：

\frac{\Delta x}{3}\times( f(x_{0}) + 4f(x_{1}) + 2f(x_{2}) + ... 4f(x_{n-1}) + f(x_{n}) ) $$}{3}\times( f(x_{0}) + 4f(x_{1}) + 2f(x_{2}) + ... 4f(x_{n-1}) + f(x_{n}) )