# 双边滤波函数

既然高斯模糊没有良好地保留边界，我们就选取一个能够保边去噪的滤波器，高斯双边滤波算法就是这样的一个滤波器。高斯模糊仅仅考虑了像素的空间分布，权重从中间向周边降低。而双边滤波则进一步考虑了图像的像素值，从而保证边缘部分不会被过滤掉。根据维基百科 [3][3]，一个双边滤波器定义为：

$$Ifiltered(x)=1WpΣxi∈ΩI(xi)fr(||I(xi)−I(x)||)gs(||xi−x||)(8)$$

$$Ifiltered(x)=1WpΣxi∈ΩI(xi)fr(||I(xi)−I(x)||)gs(||xi−x||)$$

其中，Ifiltered (x) 是过滤后的图像，x 是被过滤的像素坐标，Ω 是像素 x 的滤波核领域，I (x) 是初始未被过滤的图像。然后 fr 是域值权重函数，gr 是空间权重函数。而 Wp 是归一化因子，其计算方式如下：

$$Wp=Σxi∈Ωfr(||I(xi)−I(x)||)gs(||xi−x||)(9)$$

$$Wp=Σxi∈Ωfr(||I(xi)−I(x)||)gs(||xi−x||)$$

可以看到 fr 函数输入的是两个像素之间的差，而 gs 输入的是两个像素坐标之间的差。考虑一个像素，其坐标为 (i,j)，而其邻域像素的坐标为 (k,l)，则计算与邻域像素 (k,l) 的滤波核函数为：

$$w(i,j,k,l)=exp(−(i−k)2+(j−l)22σ2d−||I(i,j)−I(k,l)||22σ2r)(10)$$

$$w(i,j,k,l)=exp(−(i−k)2+(j−l)22σd2−||I(i,j)−I(k,l)||22σr2)$$

公式给出的核函数包含了 frfr 和 gsgs，其中左边部分就是 gsgs，而右边部分则为 frfr。在片元着色器中，我实现的双边滤波函数如下所示。这是一个暴力的两重循环，因为图像的邻域是二维的。

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#version 330 core

in vec2 Texcoord;

uniform sampler2D image;
uniform float filterRadius;

const float blurScale = 0.05f;
const float blurDepthFalloff = 500.0f;

void main(){
	// gets size of single texel.
    vec2 tex_offset = 1.0 / textureSize(image, 0);
	float sum = 0.0f;
	float wsum = 0.0f;
	float value = texture(image, Texcoord).r;
	for(float y = -filterRadius;y <= filterRadius;y += 1.0f)
	{
		for(float x = -filterRadius;x <= filterRadius;x += 1.0f)
		{
			float sample = texture(image, Texcoord + vec2(x, y) * tex_offset).r;
			// spatial domain.
			float r = length(vec2(x, y)) * blurScale;
			float w = exp(-r * r);
			// range domain.
			float r2 = (sample - value) * blurDepthFalloff;
			float g = exp(-r2 * r2);
			sum += sample * w * g;
			wsum += w * g;
		}
	}
	if(wsum >= 0.0f)
		sum /= wsum;
	gl_FragDepth = sum;
}