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# N-S 动量守恒方程

NS 方程的积分形式

∂∂t∭pv⃗dV=−∬cs(ρv⃗⋅ds⃗)v⃗+∭cvpf⃗dV−∬cspds⃗+F⃗vis∂∂t∭pv⃗dV+∬cs(ρv⃗⋅ds⃗)v⃗=−∬cspds⃗+∭cvp⃗f⃗dV+F⃗vis\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial t}\iiint p\vec{v}dV=-\iint_{cs}\left(\rho\vec{v}\cdot d\vec{s}\right)\vec{v}+\iiint_{cv}p\vec{f}dV-\iint_{cs}pd\vec{s}+\vec{F}_{vis}\\\frac{\partial}{\partial t}\iiint p\vec{v}dV+\iint_{cs}\left(\rho\vec{v}\cdot d\vec{s}\right)\vec{v}=-\iint_{cs}pd\vec{s}+\iiint_{cv}\vec{p}\vec{f}dV+\vec{F}_{vis}\end{aligned}

# 推导

控制体内流体总动量的增量 = 流入控制体内流体动量 + 外界的力产生的动量增量

对于外力而言有多重力

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体积力就是一个控制体内所有微小控制单元所产生的力，例如重力，

根据牛顿第二定律

F→=ddt(mv→)F=ma→\overrightarrow{F}=\frac{d}{dt}(m\overrightarrow{v})\\ {F=m\overrightarrow{a}}

# 第一部份

那么总动量的增长率就是ρdV=m\rho dV = m 对时间进行求导，方程左边就是

∂∂t∭cvρv⃗dV\frac{\partial}{\partial t}\iiint_{cv}\rho\vec{v}dV

那么现在单位左边第一部份就推导出来了

# 第二部分

# 通量

现在到右边第一部分，就是之前讲的流体动量流入控制微元质量乘于速度就是流入微元的动量

∬cs(ρv→⋅ds→)v→\iint_{cs}\left(\rho\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{s}\right)\overrightarrow{v}

# 第三部份

# 体积力

体积力就是，每个微元说受到的重力，积分ρ∂V\rho \partial V 就是微元的质量，再乘上 g 就是体积力，一般文章这里 f 会写成 g

∭CVp⃗fdVf⃗=g⃗{\iiint_{CV}\vec{p}fdV}\\\vec{f} = \vec{g}

# 表面力

首先有压力，对于压力而言就是表面积 X 压强 = 压力，因为∂S\partial S 的方向是向外的，压力是向里的，所以我们要乘个负号

∬CS−pdS⃗=−∬CSpdS⃗\iint_{CS}-pd \vec{S}=-\iint_{CS}pd \vec{S}

# 粘性力

比较复杂，不写

# 总结

上面所有项相加起来就是这样

∂∂t∭CVpv⃗dV=−∬CS(pv⃗⋅ds⃗)v⃗+∭CVpf⃗dv⃗−∬CSpds⃗+Fvis→\frac{\partial}{\partial t}\iiint_{CV}p\vec{v}dV=-\iint_{CS}\left(p\vec{v}\cdot d\vec{s}\right)\vec{v}+\iiint_{CV}p\vec{f}d\vec{v}-\iint_{CS}pd\vec{s}+\overrightarrow{F_{vis}}

对于蓝色框，我们可以用奥高公式替换就是，除了奥高定理外还有梯度定理，形式都一样，只是中间的标量和矢量的不同

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那么就变形成这样

∭∞∂(pu)∂tdV+∭∞∇⃗⋅(puv⃗)dV=−∭∞∂p∂xdV+∭∞pfxdV∭∞[∂(pu)∂t+∇→⋅(puv⃗)v⃗]dV=∭∞(−∂p∂x+pfx+Γux‾′)dV∂(pu)∂t+∇→⋅(puv⃗)=−∂p∂x+pfx+Fvisx′\iiint_{\infty}\frac{\partial(pu)}{\partial t}dV+\iiint_{\infty}\vec{\nabla}\cdot(pu\vec{v})dV=-\iiint_{\infty}\frac{\partial p}{\partial x}dV+\iiint_{\infty}pf_{x}dV\\\iiint_{\infty}\left[\frac{\partial(pu)}{\partial t}+\overrightarrow{\nabla}\cdot(pu\vec{v})\vec{v}\right]dV=\iiint_{\infty}\left(-\frac{\partial p}{\partial x}+pf_{x}+\underline{\Gamma_{ux}}^{\prime}\right)dV\\\frac{\partial(pu)}{\partial t}+\overrightarrow{\nabla}\cdot(pu\vec{v})=-\frac{\partial p}{\partial x}+pf_{x}+F_{visx}^{\prime}

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因为被积函数是恒等的，所以可以把积分符号去掉，就是篮框的形式，因为有三个分量，所以 NS 公式有三条

∂(pu)∂t+∇→⋅(puv→)=−∂p∂x+pfx+Fvisx′∂(pu)∂t+∇→⋅(puv→)=−∂p∂y+pfy+Fvisy′∂(pw)∂t+∇→⋅(pwv→)=−∂p∂z+pfz+Fvisz′{\begin{aligned}\frac{\partial\left(pu\right)}{\partial t}+\overrightarrow{\nabla}\cdot\left(pu\overrightarrow{v}\right)&=-\frac{\partial p}{\partial x}+pf_x+F_{visx}^{\prime}\\\frac{\partial\left(pu\right)}{\partial t}+\overrightarrow{\nabla}\cdot\left(pu\overrightarrow{v}\right)&=-\frac{\partial p}{\partial y}+pf_y+F_{visy}^{\prime}\\\frac{\partial\left(pw\right)}{\partial t}+\overrightarrow{\nabla}\cdot\left(pw\overrightarrow{v}\right)&=-\frac{\partial p}{\partial z}+pf_z+F_{visz}^{\prime}\end{aligned}}

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